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點(diǎn)的合成運(yùn)動和剛體的平面運(yùn)動

三、點(diǎn)的合成運(yùn)動

這部分內(nèi)容，主要是應(yīng)用運(yùn)動的合成與分解的概念，研究同一動點(diǎn)相對于兩個不同參考系的運(yùn)動之間的關(guān)系，即在不同的參考系中看同一動點(diǎn)的運(yùn)動，他們之間的關(guān)系。從而建立了點(diǎn)的速度合成定理和加速度合成定理。

（一）靜系·動系

固結(jié)在某一參考體上的坐標(biāo)系oxyz稱為靜坐標(biāo)系，簡稱靜系。

我們常說的是慣性參考系是地球，所以地球表面上的坐標(biāo)系作為靜系。

固結(jié)于相對靜系運(yùn)動的參考體上的坐標(biāo)系o’x’y’z’稱為動坐標(biāo)系，簡稱動系。

（二）三種運(yùn)動·三種速度·三種加速度

我們常說質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動都是相對于慣性參考系——靜系——的運(yùn)動。

動點(diǎn)相對于靜系的運(yùn)動稱為絕對運(yùn)動。即相對于慣性參考系的運(yùn)動。對應(yīng)絕對速度和絕對加速度。

動點(diǎn)相對于動系中的軌跡、速度和加速度稱為動點(diǎn)的相對軌跡、相對速度和相對加速度，并以v_a和a_a分別表示此速度和加速度。

兩個坐標(biāo)系、動系相對靜系的運(yùn)動稱為牽連運(yùn)動。

在某一瞬時，動系上與動點(diǎn)相重合的一點(diǎn)稱為動點(diǎn)在此瞬時的牽連點(diǎn)。牽連點(diǎn)的速度和加速度稱為動點(diǎn)在該瞬時的牽連速度和牽連加速度，并分別以v_r和a_r表示之。

上述三種運(yùn)動的關(guān)系如圖4—2—8所示。即動點(diǎn)的絕對運(yùn)動可視為相對運(yùn)動與牽連運(yùn)動的合成運(yùn)動。反之，動點(diǎn)的絕對運(yùn)動也可分解為牽連運(yùn)動和相對運(yùn)動。

（三）點(diǎn)的速度合成定理

可以證明，動點(diǎn)的三種速度v_a，v_e，v_r之間有如下關(guān)系式：

v_a=v_e+v_r

即動點(diǎn)的絕對速度等于它的牽連速度和相對速度的矢量和，這就是點(diǎn)的速度合成定理。根據(jù)此定理可知v_a，v_e，v_r構(gòu)成一速度平行四邊形，其對角線為絕對速度va。

由于每個速度矢量包含大小和方向二個量，因此上式總共含有六個量，當(dāng)已知其中任意四個量時，便可求出其余兩個未知量。

應(yīng)當(dāng)指出，由于存在相對運(yùn)動，所以不同瞬時，動系上與動點(diǎn)相重合的那一點(diǎn)即牽連點(diǎn)，在動系上的位置也隨之而變化的。

（四）點(diǎn)的加速度合成定理

動點(diǎn)的加速度合成與牽連運(yùn)動的性質(zhì)有關(guān)，當(dāng)牽連運(yùn)動為平動或轉(zhuǎn)動時，動點(diǎn)的加速度合成定理如下：

牽連運(yùn)動為平動：

a_a=a_e+a_r

牽連運(yùn)動為轉(zhuǎn)動：

a_a=a_e+a_r+a_k

式中a_k稱為科氏加速度。它是由于牽連運(yùn)動與相對運(yùn)動相互影響而產(chǎn)生的。a_k的矢量表達(dá)式為

a_k=2ω×v_r

其中ω為動系的角速度矢。設(shè)ω與v_r間的夾角為θ (圖4—2—9)，則a_k的大小為

a_k=2ωv_rsinθ

a_k的指向由ω與v_r的矢積確定。

對于平面機(jī)構(gòu)，因a_a、a_e、a_r和a_k等各加速度矢都位于同一平面中，所以運(yùn)用加速度合成定理只能求解大小或方向共兩個未知量。由于a_a或a_e或a_r都可能存在切向與法向兩個加速度分量，因此在求解中，常應(yīng)用合矢量投影定理進(jìn)行具體計(jì)算。

（五）應(yīng)用速度或加速度合成定理解題的一般步驟和方法

1．分析機(jī)構(gòu)的運(yùn)動情況，根據(jù)題意適當(dāng)?shù)剡x取動點(diǎn)、動系和靜系。

在一般機(jī)構(gòu)中，通?？蛇x取傳遞運(yùn)動的接觸點(diǎn)為動點(diǎn)，與其鄰接的剛體為動系。

2．分析絕對運(yùn)動、相對運(yùn)動和牽連運(yùn)動。

絕對運(yùn)動和相對運(yùn)動都是指動點(diǎn)的運(yùn)動。分別指在靜系和動系坐標(biāo)上看到的動點(diǎn)的運(yùn)動。而牽連運(yùn)動是指動系的運(yùn)動，也就是固結(jié)著動系的剛體相對靜系的絕對運(yùn)動。

3．分析動點(diǎn)的各種速度或加速度，圖示速度或加速度矢量圖。

動點(diǎn)的v_a、a_a和v_r、a_r一般可以根據(jù)其絕對運(yùn)動和相對運(yùn)動進(jìn)行分析。

4．根據(jù)速度和加速度合成定理求解。

(1)運(yùn)用a_e=v_e+v_r，求解未知量時，一般可應(yīng)用幾何法，畫矢量圖解。

(2)應(yīng)用加速度合成定理時，首先要區(qū)分牽連運(yùn)動是平動還是轉(zhuǎn)動，然后列出相應(yīng)的矢量式，即

a_a=a_e+a_r，或a_a=a_e+a_r+a_k，所以，通常應(yīng)用合矢量投影定理進(jìn)行具體計(jì)算。

（六）例題

[例1] 曲柄oa長為r，以勻角速度ω繞軸o逆時針向轉(zhuǎn)動，從而通過曲柄的a端推動滑桿bc沿鉛直方向上升，如圖4—2—10所示。求當(dāng)θ=60⁰時，滑桿bc的速度和加速度。

[解] ：關(guān)鍵找牽連點(diǎn)

a相對地面做繞o的轉(zhuǎn)動

同時在bc這個動坐標(biāo)系上

a點(diǎn)是牽連點(diǎn)

1. 選取靜系和動系：取oa上的a點(diǎn)為動點(diǎn)，滑桿bc為動系。

2. 確定三種運(yùn)動

動點(diǎn)a的絕對運(yùn)動是圓周運(yùn)動；

相對運(yùn)動是水平直線運(yùn)動；

牽連運(yùn)動是滑桿bc的平動。

3. 矢量三種運(yùn)動的關(guān)系

動點(diǎn)a的速度和加速度矢量圖如圖4—2—10所示。

a的絕對運(yùn)動是勻速圓周運(yùn)動，所以加速度只有向心加速度，也就是他的實(shí)際的加速度（合加速度）；

相對運(yùn)動是直線運(yùn)動，所以加速度沿水平方向；

牽連運(yùn)動是豎直方向的平動，加速度方向沿豎直方向；

由圖4—2—10所示的速度和加速度平行四邊形，得滑桿bc的速度v和加速度a的大小為

方向如圖示。

解題的關(guān)鍵是選擇牽連點(diǎn)。如果本題取滑桿上的a₁點(diǎn)為動點(diǎn)，oa桿為動系。則a₁點(diǎn)的相對軌跡顯然不是一條水平直線。

我們可以這樣思考，設(shè)桿oa不轉(zhuǎn)動，僅bc桿運(yùn)動，則a₁點(diǎn)相對桿oa作鉛垂直線運(yùn)動；反之，若桿bc不動，僅oa桿轉(zhuǎn)動，則a₁要相對桿oa作順時針向的圓周運(yùn)動。圓周運(yùn)動成為牽連運(yùn)動。

實(shí)際上，桿oa與bc同時在運(yùn)動，故a_l點(diǎn)相對桿oa的相對運(yùn)動應(yīng)是鉛垂直線運(yùn)動和圓周運(yùn)動的合成運(yùn)動。那么在加速度計(jì)算中，除多一項(xiàng)ak外，還因相對軌跡未知，造成了arn的計(jì)算困難。

合適選取牽連點(diǎn)。

[例2] 圖示平面機(jī)構(gòu)中，桿ab以勻速u沿水平方向運(yùn)動，并通過滑塊b推動桿oc轉(zhuǎn)動。試求α=60⁰時，滑塊b相對桿oc的加速度和桿oc的角加速度。

[解]

這也是一個典型的合成運(yùn)動題。在此直接選定b為牽連點(diǎn)。

1. 選擇牽連點(diǎn)，選擇靜系和動系：取滑塊b為動點(diǎn)，桿oc為動系。

2. 確定三種運(yùn)動：

動點(diǎn)的絕對運(yùn)動是水平直線運(yùn)動；

相對運(yùn)動是沿桿oc的直線運(yùn)動；

牽連運(yùn)動是桿oc繞軸o的轉(zhuǎn)動。

3. 運(yùn)動的矢量分析

動點(diǎn)b的速度分析如圖4-2-11所示。由圖示的幾何關(guān)系，得

因ob=b／sina，則α=60⁰時，桿oc的角速度為

轉(zhuǎn)向順著ve的指向，如圖4—2—11所示。

本體中的牽連運(yùn)動為圓周運(yùn)動。

根據(jù)牽連運(yùn)動為轉(zhuǎn)動時點(diǎn)的加速度合成定理，可作出動點(diǎn)b的加速度矢量圖如圖4—2—12所示。

因a_a=0，a_a=a_e+a_r+a_k

故得

式中

將上述矢量式分別向x軸和y軸投影，得

由此可解得桿oc的角加速度ε和a_r分別為

應(yīng)當(dāng)注意，圖中標(biāo)示的ε轉(zhuǎn)向要與aeτ的指向保持一致，故ε得負(fù)值，表示與圖示的ε轉(zhuǎn)向相反，即為逆時針轉(zhuǎn)向。

若將角α視為變量，求v_r和ω對時間的一階導(dǎo)數(shù)，則亦可解得a_r和ε，即

因ω的轉(zhuǎn)向與α正向相反，故有dα／dt=－ω，將此關(guān)系式和α=60⁰代入以上二式，則得

這里a_r取正值，表示與v_r方向一致；

ε取負(fù)值，表示與ω轉(zhuǎn)向相反。此結(jié)果與上述結(jié)果相同。

注意，關(guān)系式a_eτ=dv_e/dt是不成立的。因v_e=usinα是反映了不同瞬時的牽連點(diǎn)的速度與角α的函數(shù)關(guān)系，并不表示圖示瞬時牽連點(diǎn)的速度的函數(shù)關(guān)系，故dv_e／dt不是圖示瞬時牽連點(diǎn)的切向加速度。但當(dāng)牽連運(yùn)動是平動時，a_eτ=dv_e/dt是成立的。其理由請讀者自行思考。

四、剛體的平面運(yùn)動

應(yīng)用合成運(yùn)動的概念，將剛體的平面運(yùn)動分解為平動和轉(zhuǎn)動，并據(jù)此來研究平面運(yùn)動剛體的角速度、角加速度及其剛體上任一點(diǎn)的速度和加速度。

（一）剛體的平面運(yùn)動方程

1．平面運(yùn)動的特點(diǎn)

在運(yùn)動過程中，剛體上任一點(diǎn)離某固定平面的距離始終保持不變，稱這種運(yùn)動為剛體的平面運(yùn)動。

剛體的平面運(yùn)動可以簡化為一平面圖形在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動。

2．運(yùn)動方程

設(shè)平面圖形s在固定平面oxy內(nèi)運(yùn)動(圖4－2—15)，顯然，圖形s的位置完全由其上任一線段o’m的位置所確定。這就是說，圖形s在任一瞬時的位置可用任一點(diǎn)o’的坐標(biāo)xo’、yo’及o’m與x軸正向間的夾角φ來表示。即剛體的平面運(yùn)動方程可寫為

通常，將o’點(diǎn)稱為基點(diǎn)。

（二）平面運(yùn)動分解為平動和轉(zhuǎn)動

若取oxy為靜系，平面圖形上任一點(diǎn)o’為基點(diǎn)，并在o’點(diǎn)上固結(jié)一隨其作平動的動系o’x’y’(圖4—2—15)。則圖形s的相對運(yùn)動為繞基點(diǎn)o’的轉(zhuǎn)動；圖形的絕對運(yùn)動就是平面運(yùn)動；而牽連運(yùn)動為動系隨基點(diǎn)o’的平動。由此可見，平面圖形s的運(yùn)動可以分解為隨基點(diǎn)的平動和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動。為了方便，在下面敘述中，一般將不再圖示動系和靜系。

應(yīng)當(dāng)注意，平面運(yùn)動隨同基點(diǎn)的平動規(guī)律與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，而繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動規(guī)律與基點(diǎn)的選擇無關(guān)。因此，在論及角速度和角加速度時，無需指明它們是對哪個基點(diǎn)而言的，并可統(tǒng)稱為圖形的角速度和角加速度。又因動系作平動，故在動系中觀察到圖形的角速度與角加速度就是圖形相對靜系的絕對角速度和絕對角加速度。

（三）平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度

平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度有三種求解方法，如表4—2—7所示。通常，瞬心法和投影法應(yīng)用較多。

表中，關(guān)系式稱為速度投影定理，該定理對任何運(yùn)動形式的剛體都是適用的。由于它是一個代數(shù)方程，故根據(jù)此定理可求出式中一個未知量。

由瞬心法所表述的關(guān)系式可知，當(dāng)以速度瞬心c為基點(diǎn)時，平面圖形上各點(diǎn)的速度分布規(guī)律與剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時一樣。因此，平面圖形在任一瞬時的運(yùn)動可以看成繞速度瞬心c的瞬時轉(zhuǎn)動。于是，速度瞬心又稱為平面圖形的瞬時轉(zhuǎn)動中心，圖形上任—點(diǎn)m與c點(diǎn)的連線，稱為瞬時轉(zhuǎn)動半徑。顯然，在不同瞬時，平面圖形具有不問的速度瞬心。

瞬心法的關(guān)鍵是確定平面圖形在每一瞬時的瞬心位置，表4—2—8給出了按巳知運(yùn)動條件，確定平面圖形速度瞬心c的幾種方法.

表 4-2-8

應(yīng)該注意，剛體作瞬時平動時，其各點(diǎn)的速度相等，角速度為零。但此瞬時，剛體各點(diǎn)的加速度并不相同，且角加速度亦不為零。

（四）平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度

由牽連運(yùn)動為平動時的點(diǎn)的加速度合成定理，可得平畫圖形上任一點(diǎn)m的加速度關(guān)系式為

稱此為加速度合成法或基點(diǎn)法。式中a_o’為基點(diǎn)o’的加速度；相對切向加速度大小，方位垂直o’m，指向順著角加速度ε的轉(zhuǎn)向；相對法向加速度大小，方位沿著o’m連線，并總是指向基點(diǎn)o’。

上式是一個平面矢量等式，故可用以求解式中兩個未知量。

（五）平面運(yùn)動分析的內(nèi)容和方法

研究平面運(yùn)動剛體的運(yùn)動，主要是分析剛體的角速度ω、角加速度ε及其體上一點(diǎn)的速度v、加速度a。由于在實(shí)際機(jī)構(gòu)中，平面運(yùn)動剛體通常與平動剛體、定軸轉(zhuǎn)動剛體等組成平面機(jī)構(gòu)，因而平面運(yùn)動剛體的運(yùn)動分析問題，常常包含在平面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動分析之中。這就是說剛體所涉及到的運(yùn)動學(xué)問題，通常是綜合性問題，需要靈活應(yīng)用運(yùn)動學(xué)知識加以分析。下面結(jié)合平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析，著重將平面運(yùn)動剛體的運(yùn)動分析的內(nèi)容和步驟歸納如下。

1．根據(jù)機(jī)構(gòu)的約束條件，判斷各剛體的運(yùn)動類型，即哪些剛體作平動，哪些剛體作定軸轉(zhuǎn)動或平面運(yùn)動，或純滾動。

同時，弄清相鄰兩剛體的連接情況，相鄰兩剛體是通過連接點(diǎn)(如鉸接點(diǎn))還是接觸點(diǎn)(如凸輪與挺桿的接觸點(diǎn))進(jìn)行運(yùn)動傳遞的?若是接觸點(diǎn)，相接觸的兩點(diǎn)之間是否有相對運(yùn)動?在運(yùn)動過程中，接觸點(diǎn)是否有變化?等等。

2．明確求解思路。

一般，從已知運(yùn)動的剛體著手，通過連接點(diǎn)或接觸點(diǎn)的運(yùn)動分析，求解指定剛體或點(diǎn)的運(yùn)動。

一般來說，連接點(diǎn)的運(yùn)動，可用剛體運(yùn)動知識進(jìn)行分析；

接觸點(diǎn)的運(yùn)動可用點(diǎn)的合成運(yùn)動概念進(jìn)行分析。

但應(yīng)當(dāng)注意，當(dāng)牽連運(yùn)動為剛體的平面運(yùn)動時，應(yīng)有科氏加速度存在。此外，有時運(yùn)用點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)知識直接求解更為方便。

3．平面圖形的角速度及其剛體上任一點(diǎn)的速度分析。

通常，點(diǎn)的速度求解，可應(yīng)用速度投影定理或速度瞬心法，或兩者綜合應(yīng)用；

圖形的角速度求解，可用速度瞬心法。

但當(dāng)給出的題意條件不能選用此兩種方法求解未知量時，則可選用速度合成法。

在求解過程中，應(yīng)注意下面幾點(diǎn)。

(1)根據(jù)選用的求解方法，圖示必要的運(yùn)動元素及幾何關(guān)系。

(2)在應(yīng)用速度合成法時，點(diǎn)的絕對速度必須是速度平行四邊形的對角線；

在應(yīng)用速度投影定理時，所選的兩點(diǎn)必須在同一平面圖形上；

在應(yīng)用速度瞬心法時，要正確地找出圖形的速度瞬心位置，且圖形的瞬心位置將隨時間而改變。

(3)剛體的平動和平面圖形的瞬時平動兩者不可混淆。

平動剛體的角速度和角加速度均為零，其體上各點(diǎn)的速度和加速度均相等；

而瞬時平動是指某瞬時，該平面圖形的角速度等于零，但角加速度不等于零；其體內(nèi)各點(diǎn)的速度相等，但各點(diǎn)的加速度不等。

4．平面圖形的角加速度及其體上任一點(diǎn)的加速度分析。運(yùn)用加速度合成法求解時，應(yīng)考慮如下幾方面問題。

(1)在作加速度分析以前，為了便于解得各法向加速度，一般先作速度分析，求出圖形的角速度及其體上相應(yīng)點(diǎn)的速度。

(2)選已知點(diǎn)作為基點(diǎn)，根據(jù)加速度合成法列出所求點(diǎn)的加速度矢量式，并據(jù)此在該點(diǎn)處圖示各項(xiàng)加速度矢量。這里，應(yīng)提請注意，由于速度瞬心的加速度并不等于零。因此，在圖示加速度時，切不可將速度瞬心誤作為加速度瞬心處理。

(3)用加速度合成法建立的加速度矢量等式是一個平面矢量等式，故據(jù)此等式只能求解兩個未知量，且通常是選用合矢量投影定理進(jìn)行具體計(jì)算。

(4)半徑為r、圓心為o的圓輪，沿固定面作純滾時，其與固定面的接觸點(diǎn)c的速度和加速度為v_c=0和a_c≠0，且有關(guān)系式ω₀=v₀/r和ε₀=。

（六）例題

[例3 在圖4—2—16所示曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，曲柄oa以角速度ω和角加速度ε繞o軸轉(zhuǎn)動,并通過連桿帶動滑塊b在圓形槽內(nèi)滑動。如oa=r,ab=2r,且圖示瞬時，α=30º，φ=60°，求在該瞬時，滑塊b的切向和法向加速度。

[解] 桿ab作平面運(yùn)動，

v_a,v_b互相不垂直：參見兩個速度互相不垂直，求速度瞬心的方法：做垂直于兩者速度方向的直線，他們的交點(diǎn)就是速度瞬心。

得到其圖示位置的速度瞬心為點(diǎn)c，故由速度瞬心法得b點(diǎn)的速度大小

（或者用投影法自己求解，a，b速度在ab上的投影相等）

方向如圖。桿ab的角速度大小為

轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r針向。

以上可以作為一個選擇題

于是，b點(diǎn)的法向加速度大小為

（a_n=v²/r, r是圓周半徑，是cb的一半，或者叫曲率半徑）

方向如圖。

為求，現(xiàn)根據(jù)加速度合成法列出a_b的表達(dá)式

將上式投影到x軸上，得

式中（以a為基點(diǎn)，b相對于a定軸轉(zhuǎn)動）

代入上式，并經(jīng)整理后得b點(diǎn)的切向加速度大小為

若(2ε—)>o，則圖示的指向是正確的，否則反之。

注意，b點(diǎn)繞o1點(diǎn)作圓周運(yùn)動的角速度ωl和角加速度ε1與桿ab的ωab和εab是不同的。

[例4] 圖示機(jī)構(gòu)由曲柄連桿機(jī)構(gòu)使齒條i作往復(fù)直線運(yùn)動。曲柄oa繞軸o順時針向轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)速為n=60r／min，oa=10cm，ab=20cm齒輪o₁、o₂上下均與齒條嚙合。求當(dāng)φ=90°時，齒條i的速度和加速度。